Xét sự hội tụ của chuỗi số có lời giải: Bí kíp chinh phục từ A đến Z

Chào các bạn, những người đang “cày cuốc” với môn Toán cao cấp hoặc giải tích! Chắc hẳn thuật ngữ “chuỗi số” và việc Xét Sự Hội Tụ Của Chuỗi Số Có Lời Giải không còn xa lạ gì, thậm chí còn là nỗi “ám ảnh” của không ít người. Nhưng đừng lo lắng quá, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau “giải mã” vấn đề này một cách thật gần gũi, dễ hiểu, như đang trò chuyện vậy. Việc xác định xem một chuỗi số có “đi đến một đích” (hội tụ) hay “lạc trôi vô tận” (phân kỳ) là một kỹ năng cực kỳ quan trọng, và biết cách trình bày lời giải mạch lạc lại càng giúp bạn “ăn điểm” dễ dàng. Trong bài viết này, chúng ta sẽ không chỉ tìm hiểu lý thuyết mà còn “thực chiến” với các bài tập có lời giải chi tiết, giúp bạn tự tin hơn trên hành trình chinh phục môn học này.

Đôi khi, việc học những kiến thức mới, đặc biệt là các khái niệm trừu tượng trong toán học, cũng cần một sự chuẩn bị và hệ thống tương tự như khi bạn tiếp cận với các lĩnh vực khoa học khác. Tương tự như bài tập hóa đại cương, việc nắm vững các nguyên tắc cơ bản và công thức là chìa khóa để giải quyết những bài toán phức tạp hơn về sau.

Chuỗi số là gì và tại sao cần xét sự hội tụ?

Chuỗi số là gì? Hiểu nôm na cho dễ hình dung

Chuỗi số, đơn giản mà nói, là tổng của các phần tử trong một dãy số vô hạn. Tưởng tượng bạn có một dãy số như $a_1, a_2, a_3, dots, a_n, dots$. Chuỗi số tạo ra từ dãy này chính là $S = a_1 + a_2 + a_3 + dots + a_n + dots$. Cái “…” ở cuối nói lên rằng tổng này kéo dài mãi mãi, không có điểm dừng.

Chuỗi số là tổng vô hạn của các phần tử trong một dãy số.
Nó có dạng $sum_{n=1}^{infty} a_n$, nơi $a_n$ là phần tử thứ n của dãy số.

Bạn có bao giờ tự hỏi, khi cộng vô hạn các số lại với nhau, kết quả sẽ là một số hữu hạn hay sẽ “vô cùng lớn”? Đây chính là lúc khái niệm hội tụ và phân kỳ ra đời.

Tại sao phải “đau đầu” xét sự hội tụ của chuỗi số có lời giải?

Việc xét sự hội tụ của chuỗi số không chỉ là một bài tập “hành xác” sinh viên mà còn có ý nghĩa thực tiễn quan trọng trong nhiều lĩnh vực.

Việc xét sự hội tụ giúp xác định liệu tổng vô hạn của chuỗi có tồn tại một giá trị hữu hạn hay không, điều cần thiết trong khoa học và kỹ thuật.
Nó là nền tảng cho việc nghiên cứu chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, ứng dụng trong giải phương trình vi phân, xử lý tín hiệu, xác suất thống kê và nhiều ngành khác.

Hãy nghĩ đến việc tính toán xấp xỉ giá trị của các hàm phức tạp (như $sin x$, $cos x$, $e^x$) bằng chuỗi Maclaurin hay Taylor. Các chuỗi này chỉ “có nghĩa” và cho kết quả chính xác trong một khoảng nhất định khi chúng hội tụ. Nếu chuỗi phân kỳ, việc sử dụng nó để xấp xỉ sẽ “vô tác dụng”, thậm chí cho kết quả sai bét. Do đó, việc biết cách xét sự hội tụ của chuỗi số có lời giải là bước đầu tiên để làm việc hiệu quả với các công cụ toán học mạnh mẽ này.

Nền tảng vững chắc: Giới hạn của dãy số và Điều kiện cần

Trước khi lao vào các tiêu chuẩn phức tạp, chúng ta cần nắm vững một vài khái niệm cơ bản “như cơm bữa”.

Giới hạn của dãy số: Điểm tựa quan trọng

Nhớ lại khái niệm giới hạn của một dãy số $a_n$. Dãy số hội tụ về một số L nếu khi n càng lớn, các phần tử $a_n$ càng “tiến gần” về L.

Dãy số $a_n$ có giới hạn là L (hay $a_n to L$ khi $n to infty$) nếu các phần tử của dãy tiến ngày càng gần L khi chỉ số n tăng lên vô hạn.
Điều này có nghĩa là với mọi khoảng hẹp tùy ý quanh L, chỉ có hữu hạn phần tử của dãy nằm ngoài khoảng đó.

Việc tính giới hạn của dãy số là kỹ năng “đinh” khi xét sự hội tụ của chuỗi số.

Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ: “Tấm vé vào cửa”

Đây là một tiêu chuẩn “đơn giản nhưng quyền lực”, giúp bạn loại bỏ ngay một số chuỗi phân kỳ mà không cần dùng đến các tiêu chuẩn phức tạp hơn.

Điều kiện cần để chuỗi $sum a_n$ hội tụ là giới hạn của phần tử tổng quát $an$ phải bằng 0 khi $n to infty$. Tức là $lim{n to infty} a_n = 0$.
Nếu $lim_{n to infty} a_n ne 0$ (hoặc giới hạn không tồn tại), thì chắc chắn chuỗi đó phân kỳ.

Quan trọng: Điều ngược lại không đúng! Nếu $lim_{n to infty} an = 0$, chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Đây chỉ là điều kiện cần, không phải điều kiện đủ. Ví dụ kinh điển là chuỗi điều hòa $sum{n=1}^{infty} frac{1}{n}$, có $lim_{n to infty} frac{1}{n} = 0$ nhưng chuỗi này lại phân kỳ. Thấy chưa, “đường đến La Mã không phải lúc nào cũng thẳng”.

Ví dụ có lời giải:
Xét chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{n}{2n+1}$.
Phần tử tổng quát là $a_n = frac{n}{2n+1}$.
Ta tính giới hạn của $an$ khi $n to infty$:
$lim{n to infty} an = lim{n to infty} frac{n}{2n+1}$
Chia cả tử và mẫu cho n:
$lim{n to infty} frac{1}{2 + frac{1}{n}}$
Khi $n to infty$, $frac{1}{n} to 0$.
Vậy, $lim{n to infty} an = frac{1}{2+0} = frac{1}{2}$.
Vì $lim{n to infty} a_n = frac{1}{2} ne 0$, theo điều kiện cần, chuỗi đã cho phân kỳ.
Lời giải chi tiết:

• Xác định phần tử tổng quát $a_n = frac{n}{2n+1}$.
• Tính giới hạn $lim_{n to infty} an = lim{n to infty} frac{n}{2n+1}$.
• Thực hiện phép chia tử và mẫu cho n để đơn giản hóa giới hạn: $lim_{n to infty} frac{1}{2 + frac{1}{n}}$.
• Đánh giá giới hạn của các thành phần: $lim_{n to infty} frac{1}{n} = 0$.
• Tính giá trị cuối cùng của giới hạn: $lim_{n to infty} a_n = frac{1}{2}$.
• So sánh với điều kiện cần: $frac{1}{2} ne 0$.
• Kết luận: Theo điều kiện cần, chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{n}{2n+1}$ phân kỳ.

Hiểu rõ điều kiện cần này giúp bạn tiết kiệm kha khá thời gian đấy, đừng bỏ qua nhé! Nó giống như việc bạn kiểm tra xem hồ sơ xin việc có đủ giấy tờ cơ bản không vậy, thiếu một cái là “out” luôn!

Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số thông dụng

Khi điều kiện cần $lim a_n = 0$ được thỏa mãn (hoặc bạn chưa kiểm tra được), lúc này mới là lúc cần “vận nội công” với các tiêu chuẩn khác. Mỗi tiêu chuẩn có “đất diễn” riêng, việc lựa chọn đúng tiêu chuẩn phù hợp với cấu trúc của chuỗi sẽ giúp bài toán trở nên “dễ thở” hơn rất nhiều.

Tiêu chuẩn so sánh: “Đứng trên vai người khổng lồ”

Tiêu chuẩn so sánh là một công cụ mạnh mẽ khi chuỗi của bạn “na ná” một chuỗi khác mà bạn đã biết tính hội tụ/phân kỳ của nó. Có hai dạng chính: so sánh trực tiếp và so sánh giới hạn.

So sánh trực tiếp

Giả sử ta có hai chuỗi có các số hạng dương, $sum a_n$ và $sum b_n$.

• Nếu $0 le a_n le b_n$ với mọi n đủ lớn, và chuỗi $sum b_n$ hội tụ, thì chuỗi $sum a_n$ cũng hội tụ. (Chuỗi nhỏ hơn chuỗi hội tụ thì hội tụ).
• Nếu $0 le b_n le a_n$ với mọi n đủ lớn, và chuỗi $sum b_n$ phân kỳ, thì chuỗi $sum a_n$ cũng phân kỳ. (Chuỗi lớn hơn chuỗi phân kỳ thì phân kỳ).

Lưu ý: Tiêu chuẩn này chỉ áp dụng cho chuỗi có các số hạng không âm.

Ví dụ có lời giải (So sánh trực tiếp):
Xét sự hội tụ của chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2 + 1}$.
Đây là chuỗi có các số hạng dương. Ta “nghi ngờ” nó hội tụ vì mẫu số có $n^2$, giống như chuỗi p-series $sum frac{1}{n^p}$ với $p=2 > 1$ (chuỗi p-series hội tụ khi $p > 1$ và phân kỳ khi $p le 1$).
Ta có $n^2 + 1 > n^2$ với mọi n $ge 1$.
Do đó, $frac{1}{n^2 + 1} < frac{1}{n^2}$ với mọi n $ge 1$.
Đặt $a_n = frac{1}{n^2+1}$ và $bn = frac{1}{n^2}$.
Ta biết chuỗi $sum{n=1}^{infty} bn = sum{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ là chuỗi p-series với p=2 > 1, nên nó hội tụ.
Vì $0 le a_n le b_n$ và $sum bn$ hội tụ, theo tiêu chuẩn so sánh trực tiếp, chuỗi $sum{n=1}^{infty} frac{1}{n^2 + 1}$ hội tụ.
Lời giải chi tiết:

• Xác định phần tử tổng quát $a_n = frac{1}{n^2+1}$. Các số hạng đều dương với $n ge 1$.
• Dựa vào cấu trúc của $a_n$, tìm một chuỗi “quen thuộc” để so sánh. Nhận thấy $n^2+1$ gợi ý so sánh với $n^2$.
• Xét chuỗi $sum_{n=1}^{infty} bn = sum{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$. Đây là chuỗi p-series với $p=2$.
• Kiểm tra điều kiện hội tụ của chuỗi $sum bn$: Vì $p=2 > 1$, chuỗi p-series $sum{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ hội tụ.
• So sánh các số hạng của hai chuỗi: Với $n ge 1$, ta có $n^2 + 1 > n^2$. Suy ra $frac{1}{n^2 + 1} < frac{1}{n^2}$, tức $a_n < b_n$.
• Thỏa mãn điều kiện $0 le a_n le b_n$ và $sum b_n$ hội tụ.
• Kết luận: Theo tiêu chuẩn so sánh trực tiếp, chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2 + 1}$ hội tụ.

Tiêu chuẩn so sánh giới hạn

Tiêu chuẩn này thường dễ áp dụng hơn so sánh trực tiếp khi việc tìm bất đẳng thức trực tiếp khó khăn.
Giả sử ta có hai chuỗi có các số hạng dương, $sum a_n$ và $sum bn$.
Tính giới hạn $L = lim{n to infty} frac{a_n}{b_n}$.

• Nếu $L$ là một số dương hữu hạn ($0 < L < infty$), thì hai chuỗi $sum a_n$ và $sum b_n$ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
• Nếu $L = 0$ và $sum b_n$ hội tụ, thì $sum a_n$ cũng hội tụ.
• Nếu $L = infty$ và $sum b_n$ phân kỳ, thì $sum a_n$ cũng phân kỳ.

Trong trường hợp $L=0$ hoặc $L=infty$, tiêu chuẩn này chỉ cho kết luận một chiều. Trường hợp $0 < L < infty$ là “đắc dụng” nhất.

Ví dụ có lời giải (So sánh giới hạn):
Xét sự hội tụ của chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{n^2 + sqrt{n}}$.
Đây là chuỗi có các số hạng dương. Với n lớn, số hạng $an = frac{n+1}{n^2 + sqrt{n}}$ “na ná” $frac{n}{n^2} = frac{1}{n}$. Ta sẽ so sánh với chuỗi điều hòa $sum{n=1}^{infty} frac{1}{n}$, một chuỗi phân kỳ.
Đặt $a_n = frac{n+1}{n^2 + sqrt{n}}$ và $b_n = frac{1}{n}$.
Cả hai $a_n, bn$ đều dương với $n ge 1$.
Tính giới hạn $lim{n to infty} frac{a_n}{bn}$:
$lim{n to infty} frac{frac{n+1}{n^2 + sqrt{n}}}{frac{1}{n}} = lim{n to infty} frac{n(n+1)}{n^2 + sqrt{n}} = lim{n to infty} frac{n^2 + n}{n^2 + sqrt{n}}$
Chia cả tử và mẫu cho $n^2$:
$lim{n to infty} frac{1 + frac{1}{n}}{1 + frac{sqrt{n}}{n^2}} = lim{n to infty} frac{1 + frac{1}{n}}{1 + frac{1}{n^{3/2}}}$
Khi $n to infty$, $frac{1}{n} to 0$ và $frac{1}{n^{3/2}} to 0$.
Vậy, $lim_{n to infty} frac{a_n}{bn} = frac{1+0}{1+0} = 1$.
Vì giới hạn $L=1$ là một số dương hữu hạn ($0 < 1 < infty$), và chuỗi $sum{n=1}^{infty} bn = sum{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ là chuỗi điều hòa phân kỳ, theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn, chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{n^2 + sqrt{n}}$ cũng phân kỳ.
Lời giải chi tiết:

• Xác định $a_n = frac{n+1}{n^2 + sqrt{n}}$. Các số hạng dương với $n ge 1$.
• Chọn chuỗi so sánh $b_n$. Bằng cách xét bậc cao nhất của tử và mẫu khi n lớn ($n/n^2 = 1/n$), ta chọn $bn = frac{1}{n}$. Chuỗi $sum{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ là chuỗi điều hòa, phân kỳ.
• Thiết lập giới hạn $lim_{n to infty} frac{a_n}{bn} = lim{n to infty} frac{frac{n+1}{n^2 + sqrt{n}}}{frac{1}{n}}$.
• Biến đổi biểu thức: $lim{n to infty} frac{n(n+1)}{n^2 + sqrt{n}} = lim{n to infty} frac{n^2 + n}{n^2 + sqrt{n}}$.
• Chia tử và mẫu cho $n^2$: $lim{n to infty} frac{1 + frac{n}{n^2}}{1 + frac{sqrt{n}}{n^2}} = lim{n to infty} frac{1 + frac{1}{n}}{1 + frac{1}{n^{3/2}}}$.
• Tính giới hạn: $lim{n to infty} frac{1}{n} = 0$, $lim{n to infty} frac{1}{n^{3/2}} = 0$. Do đó, giới hạn là $frac{1+0}{1+0} = 1$.
• Kết quả giới hạn là $L=1$, một số dương hữu hạn ($0 < 1 < infty$).
• Kết luận: Vì $lim_{n to infty} frac{a_n}{bn} = 1 > 0$ và chuỗi $sum{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ phân kỳ, theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn, chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{n^2 + sqrt{n}}$ cũng phân kỳ.

Việc chọn chuỗi $b_n$ để so sánh đòi hỏi một chút “kinh nghiệm trận mạc”. Thông thường, ta chọn $b_n$ có dạng $frac{1}{n^p}$ (chuỗi p-series) hoặc chuỗi cấp số nhân $r^n$, bằng cách nhìn vào các số hạng “át vía” nhất ở tử và mẫu của $a_n$ khi n lớn. Giống như khi bạn chuẩn bị một bài mẫu lập kế hoạch y tế, việc tham khảo các mẫu kế hoạch đã có và điều chỉnh cho phù hợp sẽ hiệu quả hơn là bắt đầu từ con số 0.

Tiêu chuẩn D’Alembert (Tiêu chuẩn Tỉ số): Khi có giai thừa hoặc lũy thừa

Tiêu chuẩn tỉ số rất hiệu quả khi số hạng tổng quát $a_n$ chứa các biểu thức có giai thừa ($n!$), lũy thừa ($r^n$, $n^n$), hoặc tích của nhiều số hạng. Tiêu chuẩn này cũng chỉ áp dụng cho chuỗi có số hạng dương.

Tính giới hạn $L = lim{n to infty} left| frac{a{n+1}}{a_n} right|$.
(Nếu các số hạng $a_n$ đều dương, thì bỏ trị tuyệt đối).

• Nếu $L < 1$, chuỗi $sum a_n$ hội tụ tuyệt đối (và do đó hội tụ).
• Nếu $L > 1$ hoặc $L = infty$, chuỗi $sum a_n$ phân kỳ.
• Nếu $L = 1$, tiêu chuẩn này không cho kết luận, cần sử dụng tiêu chuẩn khác. “Vô phương cứu chữa” ở đây, phải tìm đường khác thôi!

Ví dụ có lời giải:
Xét sự hội tụ của chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{2^n}{n!}$.
Đây là chuỗi có các số hạng dương. Có $n!$ nên dùng tiêu chuẩn tỉ số là “đúng bài”.
$an = frac{2^n}{n!}$.
$a{n+1} = frac{2^{n+1}}{(n+1)!}$.
Tính $lim{n to infty} frac{a{n+1}}{an}$:
$lim{n to infty} frac{frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{frac{2^n}{n!}} = lim{n to infty} frac{2^{n+1}}{(n+1)!} cdot frac{n!}{2^n}$
Nhớ $(n+1)! = (n+1) cdot n!$.
$= lim{n to infty} frac{2^{n+1}}{2^n} cdot frac{n!}{(n+1)!} = lim{n to infty} 2 cdot frac{1}{n+1}$
$= 2 cdot lim{n to infty} frac{1}{n+1}$
Khi $n to infty$, $frac{1}{n+1} to 0$.
Vậy, giới hạn $L = 2 cdot 0 = 0$.
Vì $L = 0 < 1$, theo tiêu chuẩn D’Alembert, chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{2^n}{n!}$ hội tụ.
Lời giải chi tiết:

• Xác định $a_n = frac{2^n}{n!}$. Các số hạng dương với $n ge 1$.
• Xác định $a_{n+1} = frac{2^{n+1}}{(n+1)!}$.
• Thiết lập tỉ số $frac{a_{n+1}}{a_n} = frac{frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{frac{2^n}{n!}}$.
• Rút gọn biểu thức: $frac{2^{n+1}}{(n+1)!} cdot frac{n!}{2^n} = frac{2 cdot 2^n}{(n+1)n!} cdot frac{n!}{2^n} = frac{2}{n+1}$.
• Tính giới hạn của tỉ số khi $n to infty$: $L = lim_{n to infty} frac{2}{n+1}$.
• Đánh giá giới hạn: Khi $n to infty$, $n+1 to infty$, do đó $frac{2}{n+1} to 0$.
• Kết quả giới hạn là $L=0$.
• So sánh với điều kiện của tiêu chuẩn D’Alembert: $L=0 < 1$.
• Kết luận: Theo tiêu chuẩn D’Alembert (Tiêu chuẩn Tỉ số), chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{2^n}{n!}$ hội tụ.

Tiêu chuẩn Cauchy (Tiêu chuẩn Căn Thức): Khi có lũy thừa mũ n

Tiêu chuẩn căn thức đặc biệt hữu dụng khi số hạng tổng quát $a_n$ chứa biểu thức được nâng lên lũy thừa $n$. Tiêu chuẩn này cũng chỉ áp dụng cho chuỗi có số hạng không âm.

Tính giới hạn $L = lim_{n to infty} sqrt[n]{|an|} = lim{n to infty} |a_n|^{1/n}$.
(Nếu các số hạng $a_n$ đều dương, thì bỏ trị tuyệt đối).

• Nếu $L < 1$, chuỗi $sum a_n$ hội tụ tuyệt đối (và do đó hội tụ).
• Nếu $L > 1$ hoặc $L = infty$, chuỗi $sum a_n$ phân kỳ.
• Nếu $L = 1$, tiêu chuẩn này không cho kết luận, giống như tiêu chuẩn tỉ số. “Bó tay chấm com” ở đây rồi.

Ví dụ có lời giải:
Xét sự hội tụ của chuỗi $sum_{n=1}^{infty} left(frac{n}{2n+1}right)^n$.
Đây là chuỗi có các số hạng dương. Có dạng $(dots)^n$ nên dùng tiêu chuẩn Cauchy là “nhắm mắt cũng biết”.
$an = left(frac{n}{2n+1}right)^n$.
Tính $lim{n to infty} sqrt[n]{an} = lim{n to infty} sqrt[n]{left(frac{n}{2n+1}right)^n}$:
$lim{n to infty} left( left(frac{n}{2n+1}right)^n right)^{1/n} = lim{n to infty} frac{n}{2n+1}$
Chia cả tử và mẫu cho n:
$= lim{n to infty} frac{1}{2 + frac{1}{n}}$
Khi $n to infty$, $frac{1}{n} to 0$.
Vậy, giới hạn $L = frac{1}{2+0} = frac{1}{2}$.
Vì $L = frac{1}{2} < 1$, theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi $sum{n=1}^{infty} left(frac{n}{2n+1}right)^n$ hội tụ.
Lời giải chi tiết:

• Xác định $a_n = left(frac{n}{2n+1}right)^n$. Các số hạng dương với $n ge 1$.
• Thiết lập biểu thức căn bậc n của $|a_n|$ (vì $a_n > 0$, ta dùng $sqrt[n]{a_n}$): $sqrt[n]{left(frac{n}{2n+1}right)^n}$.
• Rút gọn biểu thức: $sqrt[n]{left(frac{n}{2n+1}right)^n} = frac{n}{2n+1}$.
• Tính giới hạn của biểu thức khi $n to infty$: $L = lim_{n to infty} frac{n}{2n+1}$.
• Chia tử và mẫu cho n: $L = lim_{n to infty} frac{1}{2 + frac{1}{n}}$.
• Tính giới hạn: $lim_{n to infty} frac{1}{n} = 0$. Do đó, $L = frac{1}{2+0} = frac{1}{2}$.
• Kết quả giới hạn là $L=frac{1}{2}$.
• So sánh với điều kiện của tiêu chuẩn Cauchy: $L=frac{1}{2} < 1$.
• Kết luận: Theo tiêu chuẩn Cauchy (Tiêu chuẩn Căn Thức), chuỗi $sum_{n=1}^{infty} left(frac{n}{2n+1}right)^n$ hội tụ.

Tiêu chuẩn Tỉ số và Tiêu chuẩn Căn Thức thường cho kết quả giống nhau, và khi một tiêu chuẩn cho $L=1$, tiêu chuẩn kia cũng thường cho $L=1$. Việc lựa chọn tiêu chuẩn nào tùy thuộc vào dạng của $a_n$ để việc tính giới hạn được thuận tiện nhất.

Tiêu chuẩn Tích phân: Khi $a_n$ giống một hàm liên tục, dương, giảm

Tiêu chuẩn tích phân là một cây cầu nối giữa chuỗi số và tích phân suy rộng. Nó hữu ích khi số hạng tổng quát $a_n$ có thể được coi là giá trị của một hàm $f(x)$ liên tục, dương và giảm trên $[N, infty)$ cho n đủ lớn.

Giả sử $f(x)$ là một hàm liên tục, dương, giảm trên $[N, infty)$ với N là số nguyên dương, và $a_n = f(n)$ với mọi $n ge N$.

• Nếu tích phân suy rộng $intN^{infty} f(x) dx$ hội tụ, thì chuỗi $sum{n=N}^{infty} a_n$ cũng hội tụ.
• Nếu tích phân suy rộng $intN^{infty} f(x) dx$ phân kỳ, thì chuỗi $sum{n=N}^{infty} a_n$ cũng phân kỳ.

Lưu ý: Tiêu chuẩn này chỉ cho biết chuỗi hội tụ hay phân kỳ, không cho biết tổng của chuỗi là bao nhiêu (trừ một số trường hợp đặc biệt). Việc xét từ chỉ số N không ảnh hưởng đến tính hội tụ/phân kỳ của toàn bộ chuỗi $sum_{n=1}^{infty} a_n$, vì tổng của một số hữu hạn số hạng đầu không làm thay đổi bản chất hội tụ/phân kỳ của chuỗi vô hạn.

Ví dụ có lời giải:
Xét sự hội tụ của chuỗi $sum_{n=2}^{infty} frac{1}{n ln n}$.
Đây là chuỗi có các số hạng dương. Ta xét hàm $f(x) = frac{1}{x ln x}$ trên $[2, infty)$.

• Tính liên tục: $f(x)$ liên tục trên $[2, infty)$ vì mẫu số khác 0.
• Tính dương: $f(x) > 0$ với $x ge 2$ vì $x > 0$ và $ln x > 0$.
• Tính giảm: Để xét tính giảm, ta có thể xét đạo hàm hoặc lập luận. Với $x ge 2$, cả x và $ln x$ đều dương và tăng. Do đó, tích $x ln x$ tăng. Khi mẫu tăng, phân số $frac{1}{x ln x}$ giảm. Vậy $f(x)$ giảm trên $[2, infty)$.
  $a_n = f(n) = frac{1}{n ln n}$.
  Ta xét tích phân suy rộng $int_2^{infty} frac{1}{x ln x} dx$.
  Đặt $u = ln x$, suy ra $du = frac{1}{x} dx$.
  Khi $x=2$, $u = ln 2$. Khi $x to infty$, $u to infty$.
  $int_2^{infty} frac{1}{x ln x} dx = int2^{infty} frac{1}{ln x} cdot frac{1}{x} dx = int{ln 2}^{infty} frac{1}{u} du$
  Tích phân $int frac{1}{u} du = ln |u|$.
  $int{ln 2}^{infty} frac{1}{u} du = lim{b to infty} [ln |u|]{ln 2}^b = lim{b to infty} (ln b – ln(ln 2))$.
  Khi $b to infty$, $ln b to infty$.
  Vậy, $lim_{b to infty} (ln b – ln(ln 2)) = infty$.
  Tích phân suy rộng $int2^{infty} frac{1}{x ln x} dx$ phân kỳ.
  Theo tiêu chuẩn tích phân, chuỗi $sum{n=2}^{infty} frac{1}{n ln n}$ cũng phân kỳ.
  Lời giải chi tiết:
• Xác định phần tử tổng quát $a_n = frac{1}{n ln n}$ (với $n ge 2$).
• Xét hàm $f(x) = frac{1}{x ln x}$ trên $[2, infty)$.
• Kiểm tra các điều kiện của tiêu chuẩn tích phân: $f(x)$ liên tục, dương và giảm trên $[2, infty)$. (Giải thích chi tiết tính liên tục, dương, giảm như trên).
• Thiết lập tích phân suy rộng $int_2^{infty} f(x) dx = int_2^{infty} frac{1}{x ln x} dx$.
• Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến. Đặt $u = ln x$, $du = frac{1}{x} dx$.
• Đổi cận: $x=2 implies u = ln 2$; $x to infty implies u to infty$.
• Tích phân trở thành $int_{ln 2}^{infty} frac{1}{u} du$.
• Tính nguyên hàm: $int frac{1}{u} du = ln |u|$.
• Tính giá trị tích phân suy rộng: $lim{b to infty} [ln |u|]{ln 2}^b = lim_{b to infty} (ln b – ln(ln 2))$.
• Đánh giá giới hạn: $lim_{b to infty} ln b = infty$. Vậy giới hạn là $infty$.
• Tích phân suy rộng phân kỳ.
• Kết luận: Theo tiêu chuẩn tích phân, chuỗi $sum_{n=2}^{infty} frac{1}{n ln n}$ phân kỳ.

Tiêu chuẩn tích phân đòi hỏi bạn phải “nhảy cầu” sang kiến thức về tích phân, nên nếu cảm thấy “ngại” phần này thì nên ưu tiên các tiêu chuẩn khác nếu có thể.

Tiêu chuẩn Leibniz: Đặc quyền cho chuỗi đan dấu

Cho đến giờ, chúng ta chủ yếu xét chuỗi có số hạng dương. Nhưng còn những chuỗi mà các số hạng luân phiên dương âm thì sao? Đó là “sân chơi” của chuỗi đan dấu và tiêu chuẩn Leibniz.

Chuỗi đan dấu có dạng $sum_{n=1}^{infty} (-1)^{n-1} bn$ hoặc $sum{n=1}^{infty} (-1)^n b_n$, trong đó $b_n ge 0$.

Tiêu chuẩn Leibniz phát biểu rằng, nếu chuỗi đan dấu $sum_{n=1}^{infty} (-1)^{n-1} b_n$ (hoặc $sum (-1)^n b_n$) thỏa mãn hai điều kiện sau:

1. Dãy ${bn}$ là dãy giảm (tức $b{n+1} le b_n$ với mọi n đủ lớn).
2. $lim_{n to infty} b_n = 0$.

thì chuỗi đan dấu đó hội tụ.

Lưu ý: Tiêu chuẩn Leibniz chỉ cho biết chuỗi hội tụ, không phải hội tụ tuyệt đối. Phân biệt giữa hội tụ và hội tụ tuyệt đối rất quan trọng. Một chuỗi $sum a_n$ được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi trị tuyệt đối $sum |a_n|$ hội tụ. Nếu $sum |a_n|$ hội tụ, thì $sum a_n$ cũng hội tụ. Nhưng nếu $sum |a_n|$ phân kỳ mà $sum a_n$ vẫn hội tụ, thì ta nói chuỗi $sum a_n$ hội tụ có điều kiện.

Ví dụ có lời giải:
Xét sự hội tụ của chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{n}$.
Đây là chuỗi đan dấu với $a_n = frac{(-1)^n}{n}$.
Ta có $a_n = (-1)^n cdot frac{1}{n}$, nên $b_n = frac{1}{n}$.
Kiểm tra hai điều kiện của tiêu chuẩn Leibniz:

1. Dãy ${b_n} = {frac{1}{n}}$:
   $bn = frac{1}{n}$, $b{n+1} = frac{1}{n+1}$.
   Với $n ge 1$, ta có $n+1 > n$, suy ra $frac{1}{n+1} < frac{1}{n}$.
   Vậy $b_{n+1} le b_n$ với mọi $n ge 1$. Dãy ${b_n}$ là dãy giảm. Điều kiện 1 được thỏa mãn.
2. Giới hạn của $bn$:
   $lim{n to infty} bn = lim{n to infty} frac{1}{n}$.
   Khi $n to infty$, $frac{1}{n} to 0$.
   Vậy $lim_{n to infty} b_n = 0$. Điều kiện 2 được thỏa mãn.

Vì cả hai điều kiện của tiêu chuẩn Leibniz đều được thỏa mãn, chuỗi đan dấu $sum{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{n}$ hội tụ.
Đây chính là chuỗi điều hòa đan dấu, một ví dụ điển hình của chuỗi hội tụ có điều kiện (vì chuỗi trị tuyệt đối $sum{n=1}^{infty} |frac{(-1)^n}{n}| = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ là chuỗi điều hòa phân kỳ).
Lời giải chi tiết:

• Nhận dạng chuỗi là chuỗi đan dấu $sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{n}$.
• Xác định $b_n = frac{1}{n}$ (phần không chứa dấu $(-1)^n$). Lưu ý $b_n ge 0$ với $n ge 1$.
• Kiểm tra điều kiện 1 (tính giảm của dãy ${b_n}$): So sánh $bn$ và $b{n+1}$. Ta có $bn = frac{1}{n}$ và $b{n+1} = frac{1}{n+1}$. Vì $n+1 > n$ với mọi $n ge 1$, suy ra $frac{1}{n+1} < frac{1}{n}$, tức là $b_{n+1} < b_n$. Dãy ${b_n}$ là dãy giảm. Điều kiện 1 thỏa mãn.
• Kiểm tra điều kiện 2 (giới hạn của $bn$): Tính $lim{n to infty} bn = lim{n to infty} frac{1}{n}$. Giới hạn này bằng 0. Điều kiện 2 thỏa mãn.
• Kết luận: Vì cả hai điều kiện của tiêu chuẩn Leibniz đều được thỏa mãn, chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{n}$ hội tụ.

Đôi khi, việc xét sự hội tụ của một khái niệm phức tạp như chuỗi số cần một cách tiếp cận có hệ thống, tương tự như khi bạn phải hiểu format chương trình là gì để có thể làm việc với nó một cách hiệu quả. Cả hai đều đòi hỏi việc phân tích cấu trúc và tuân theo những quy tắc nhất định.

Hội tụ tuyệt đối và Hội tụ có điều kiện

Như đã đề cập ở trên, sự khác biệt giữa hội tụ tuyệt đối và hội tụ có điều kiện là một điểm quan trọng cần làm rõ khi xét sự hội tụ của chuỗi số có lời giải, đặc biệt là với chuỗi có cả số hạng âm và dương (không chỉ riêng chuỗi đan dấu).

Định nghĩa:

• Chuỗi $sum a_n$ hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi các giá trị tuyệt đối $sum |a_n|$ hội tụ.
• Chuỗi $sum a_n$ hội tụ có điều kiện nếu $sum a_n$ hội tụ nhưng $sum |a_n|$ phân kỳ.

Tại sao lại quan tâm?
Sự hội tụ tuyệt đối “mạnh hơn” hội tụ thông thường. Nếu một chuỗi hội tụ tuyệt đối, bạn có thể thay đổi thứ tự các số hạng mà tổng của chuỗi vẫn không đổi. Ngược lại, với chuỗi hội tụ có điều kiện, việc thay đổi thứ tự các số hạng có thể làm thay đổi tổng của chuỗi, thậm chí biến nó thành bất kỳ số thực nào, hoặc làm cho nó phân kỳ! Đây là một kết quả khá “phản trực giác” nhưng lại đúng trong toán học (Định lý Riemann về sắp xếp lại chuỗi).

Cách xét:

1. Xét sự hội tụ của chuỗi trị tuyệt đối $sum |a_n|$.
2. Nếu $sum |a_n|$ hội tụ, thì chuỗi ban đầu $sum a_n$ hội tụ tuyệt đối (và do đó hội tụ).
3. Nếu $sum |a_n|$ phân kỳ, thì cần xét sự hội tụ của chuỗi ban đầu $sum a_n$ bằng các tiêu chuẩn khác (ví dụ: Leibniz nếu là chuỗi đan dấu). Nếu $sum a_n$ hội tụ trong trường hợp này, thì nó hội tụ có điều kiện. Nếu $sum a_n$ cũng phân kỳ, thì chuỗi ban đầu phân kỳ.

Ví dụ có lời giải:
Xét sự hội tụ tuyệt đối và hội tụ của chuỗi $sum{n=1}^{infty} frac{cos n}{n^2}$.
Đây là chuỗi có cả số hạng dương và âm vì $cos n$ thay đổi dấu.
Trước tiên, xét chuỗi trị tuyệt đối $sum{n=1}^{infty} left| frac{cos n}{n^2} right| = sum{n=1}^{infty} frac{|cos n|}{n^2}$.
Các số hạng của chuỗi này đều không âm. Ta có bất đẳng thức $|cos n| le 1$ với mọi n.
Suy ra $frac{|cos n|}{n^2} le frac{1}{n^2}$ với mọi $n ge 1$.
Ta sẽ so sánh chuỗi $sum{n=1}^{infty} frac{|cos n|}{n^2}$ với chuỗi $sum{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$.
Chuỗi $sum{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ là chuỗi p-series với $p=2 > 1$, nên nó hội tụ.
Vì $0 le frac{|cos n|}{n^2} le frac{1}{n^2}$ và chuỗi $sum{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ hội tụ, theo tiêu chuẩn so sánh trực tiếp, chuỗi $sum{n=1}^{infty} frac{|cos n|}{n^2}$ hội tụ.
Do chuỗi trị tuyệt đối $sum{n=1}^{infty} |frac{cos n}{n^2}|$ hội tụ, nên chuỗi ban đầu $sum{n=1}^{infty} frac{cos n}{n^2}$ hội tụ tuyệt đối.
Lời giải chi tiết:

• Nhận dạng chuỗi: $sum_{n=1}^{infty} frac{cos n}{n^2}$. Chuỗi này có cả số hạng dương và âm.
• Xét chuỗi trị tuyệt đối: $sum{n=1}^{infty} left| frac{cos n}{n^2} right| = sum{n=1}^{infty} frac{|cos n|}{n^2}$. Các số hạng không âm.
• Sử dụng tiêu chuẩn so sánh trực tiếp cho chuỗi trị tuyệt đối. Ta biết $|cos n| le 1$.
• Thiết lập bất đẳng thức: $frac{|cos n|}{n^2} le frac{1}{n^2}$ với mọi $n ge 1$.
• Chọn chuỗi so sánh: $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$, là chuỗi p-series với $p=2$.
• Kiểm tra sự hội tụ của chuỗi so sánh: Vì $p=2 > 1$, chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ hội tụ.
• Áp dụng tiêu chuẩn so sánh trực tiếp: Vì $0 le frac{|cos n|}{n^2} le frac{1}{n^2}$ và $sum{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ hội tụ, chuỗi $sum{n=1}^{infty} frac{|cos n|}{n^2}$ hội tụ.
• Kết luận về hội tụ tuyệt đối: Vì chuỗi trị tuyệt đối hội tụ, chuỗi ban đầu $sum_{n=1}^{infty} frac{cos n}{n^2}$ hội tụ tuyệt đối.

Chiến lược “ra trận”: Chọn tiêu chuẩn nào?

Giờ bạn đã có trong tay “kho vũ khí” các tiêu chuẩn. Vấn đề là khi đối mặt với một chuỗi “lạ hoắc”, làm sao biết nên dùng “vũ khí” nào? Đây là một vài gợi ý để bạn “nhắm mục tiêu” hiệu quả hơn:

1. Kiểm tra điều kiện cần đầu tiên: Luôn luôn tính $lim_{n to infty} a_n$. Nếu khác 0, kết luận ngay chuỗi phân kỳ và “đi về nhà”. Nếu bằng 0, chuyển sang bước tiếp theo.
2. Nhìn vào dạng của $a_n$:
   • Nếu có giai thừa ($n!$) hoặc lũy thừa kiểu $r^n$ hoặc tích nhiều số hạng: Nghĩ ngay đến Tiêu chuẩn D’Alembert (Tỉ số).
   • Nếu có lũy thừa mũ $n$, tức là $a_n = (dots)^n$: Nghĩ ngay đến Tiêu chuẩn Cauchy (Căn thức).
   • Nếu $a_n$ là một phân thức của đa thức hoặc chứa căn thức, và “na ná” dạng $frac{1}{n^p}$: Nghĩ đến Tiêu chuẩn So sánh (trực tiếp hoặc giới hạn) với chuỗi p-series $sum frac{1}{n^p}$ hoặc chuỗi cấp số nhân $sum r^n$.
   • Nếu $a_n$ có thể coi là giá trị của một hàm liên tục, dương, giảm: Nghĩ đến Tiêu chuẩn Tích phân. Đặc biệt hữu ích với các dạng $frac{1}{n ln n}$, $frac{1}{n (ln n)^p}$, v.v.
   • Nếu chuỗi là chuỗi đan dấu (có dạng $(-1)^n b_n$ hoặc $(-1)^{n-1} b_n$ với $b_n ge 0$): Nghĩ đến Tiêu chuẩn Leibniz.
3. Chuẩn bị “phương án B”: Nếu tiêu chuẩn bạn chọn không cho kết luận (ví dụ: L=1 với D’Alembert/Cauchy), đừng nản! Quay lại và thử tiêu chuẩn khác phù hợp hơn.

Việc lựa chọn tiêu chuẩn phù hợp cũng giống như việc bạn tìm ra cách giải quyết vấn đề hiệu quả nhất trong cuộc sống, có thể bạn đã từng trải qua cảm giác bế tắc và đột nhiên tìm được lối thoát, tương tự như khi bạn mơ ngủ bị rắn cắn – ban đầu đáng sợ nhưng sau đó có thể tìm cách hóa giải.

Ví dụ tổng hợp có lời giải chi tiết

Để củng cố kiến thức, chúng ta sẽ “thực hành” thêm vài bài tập khác nhau, kết hợp việc lựa chọn tiêu chuẩn và trình bày lời giải.

Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{n^3}{e^n}$.

• Phân tích: Số hạng tổng quát $a_n = frac{n^3}{e^n}$. Có lũy thừa $e^n$ ở mẫu, gợi ý dùng Tiêu chuẩn Tỉ số hoặc Tiêu chuẩn Căn thức. Ta thử Tiêu chuẩn Tỉ số trước. Các số hạng $a_n$ đều dương với $n ge 1$.
• Tính $a{n+1}$: $a{n+1} = frac{(n+1)^3}{e^{n+1}}$.
• Lập tỉ số $frac{a_{n+1}}{an}$:
  $frac{a{n+1}}{a_n} = frac{(n+1)^3 / e^{n+1}}{n^3 / e^n} = frac{(n+1)^3}{e^{n+1}} cdot frac{e^n}{n^3} = left(frac{n+1}{n}right)^3 cdot frac{e^n}{e^{n+1}} = left(1 + frac{1}{n}right)^3 cdot frac{1}{e}$.
• Tính giới hạn: $lim{n to infty} frac{a{n+1}}{an} = lim{n to infty} left(1 + frac{1}{n}right)^3 cdot frac{1}{e}$.
  Ta biết $lim{n to infty} frac{1}{n} = 0$.
  Vậy $lim{n to infty} left(1 + frac{1}{n}right)^3 = (1+0)^3 = 1^3 = 1$.
  Giới hạn $L = 1 cdot frac{1}{e} = frac{1}{e}$.
• Kết luận: $L = frac{1}{e}$. Vì $e approx 2.718$, nên $frac{1}{e} < 1$. Theo tiêu chuẩn D’Alembert, chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{n^3}{e^n}$ hội tụ.

Lời giải chi tiết Ví dụ 1:

• Chuỗi đã cho là $sum_{n=1}^{infty} frac{n^3}{e^n}$. Các số hạng $a_n = frac{n^3}{e^n}$ đều dương với $n ge 1$.
• Vì $a_n$ chứa $e^n$, ta sử dụng Tiêu chuẩn D’Alembert (Tiêu chuẩn Tỉ số).
• Xác định $a_{n+1} = frac{(n+1)^3}{e^{n+1}}$.
• Lập tỉ số $frac{a_{n+1}}{a_n} = frac{(n+1)^3 / e^{n+1}}{n^3 / e^n} = frac{(n+1)^3}{n^3} cdot frac{e^n}{e^{n+1}} = left(frac{n+1}{n}right)^3 cdot e^{n-n-1} = left(1 + frac{1}{n}right)^3 cdot e^{-1} = frac{1}{e} left(1 + frac{1}{n}right)^3$.
• Tính giới hạn của tỉ số khi $n to infty$: $L = lim_{n to infty} frac{1}{e} left(1 + frac{1}{n}right)^3$.
• Áp dụng các quy tắc tính giới hạn: $lim{n to infty} frac{1}{n} = 0$. Do đó, $lim{n to infty} left(1 + frac{1}{n}right)^3 = (1+0)^3 = 1$.
• Vậy $L = frac{1}{e} cdot 1 = frac{1}{e}$.
• So sánh kết quả giới hạn với điều kiện của tiêu chuẩn D’Alembert: Vì $e approx 2.718 > 1$, nên $L = frac{1}{e} < 1$.
• Kết luận: Theo Tiêu chuẩn D’Alembert, chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{n^3}{e^n}$ hội tụ.

Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của chuỗi $sum_{n=1}^{infty} sinleft(frac{1}{n}right)$.

• Phân tích: Số hạng tổng quát $a_n = sinleft(frac{1}{n}right)$. Với n lớn, $frac{1}{n}$ rất nhỏ. Ta biết $sin x approx x$ khi $x$ nhỏ. Do đó, $sinleft(frac{1}{n}right) approx frac{1}{n}$ khi n lớn. Điều này gợi ý dùng Tiêu chuẩn So sánh Giới hạn với $b_n = frac{1}{n}$. Các số hạng $a_n$ đều dương với $n ge 1$ vì $frac{1}{n}$ nằm trong khoảng $(0, 1]$ và $sin x > 0$ khi $x in (0, pi)$.
• Chọn $b_n = frac{1}{n}$. Chuỗi $sum bn = sum{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ là chuỗi điều hòa, phân kỳ.
• Tính giới hạn $lim_{n to infty} frac{a_n}{bn}$:
  $lim{n to infty} frac{sinleft(frac{1}{n}right)}{frac{1}{n}}$.
  Đặt $x = frac{1}{n}$. Khi $n to infty$, $x to 0$.
  Giới hạn trở thành $lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$. Đây là một giới hạn cơ bản trong giải tích, bằng 1.
• Kết luận: $L = 1$. Đây là một số dương hữu hạn ($0 < 1 < infty$). Vì $lim_{n to infty} frac{a_n}{bn} = 1 > 0$ và chuỗi $sum{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ phân kỳ, theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn, chuỗi $sum_{n=1}^{infty} sinleft(frac{1}{n}right)$ cũng phân kỳ.

Lời giải chi tiết Ví dụ 2:

• Chuỗi đã cho là $sum_{n=1}^{infty} sinleft(frac{1}{n}right)$. Với $n ge 1$, $0 < frac{1}{n} le 1$. Vì $1$ radian $approx 57.3^circ < 180^circ = pi$, nên $frac{1}{n}$ nằm trong khoảng $(0, pi]$. Do đó $sinleft(frac{1}{n}right) > 0$ với mọi $n ge 1$. Các số hạng đều dương.
• Khi $n$ lớn, $frac{1}{n}$ nhỏ. Ta sử dụng khai triển Maclaurin cho $sin x$ khi x nhỏ: $sin x approx x$. Do đó, $sinleft(frac{1}{n}right) approx frac{1}{n}$. Ta chọn chuỗi so sánh $bn = frac{1}{n}$. Chuỗi $sum{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ là chuỗi điều hòa, phân kỳ.
• Sử dụng Tiêu chuẩn So sánh Giới hạn. Tính giới hạn $L = lim_{n to infty} frac{a_n}{bn} = lim{n to infty} frac{sinleft(frac{1}{n}right)}{frac{1}{n}}$.
• Đặt $x = frac{1}{n}$. Khi $n to infty$, $x to 0^+$. Giới hạn trở thành $lim_{x to 0^+} frac{sin x}{x}$.
• Đây là giới hạn cơ bản, $lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$.
• Vậy $L=1$. Kết quả này là một số dương hữu hạn ($0 < 1 < infty$).
• Áp dụng Tiêu chuẩn So sánh Giới hạn: Vì $L=1 > 0$ và chuỗi $sum{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ phân kỳ, nên chuỗi $sum{n=1}^{infty} sinleft(frac{1}{n}right)$ cũng phân kỳ.

Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của chuỗi $sum_{n=2}^{infty} frac{(-1)^n}{ln n}$.

• Phân tích: Chuỗi này có dạng $sum (-1)^n b_n$ với $b_n = frac{1}{ln n}$. Đây là chuỗi đan dấu. Ta sử dụng Tiêu chuẩn Leibniz. Lưu ý chuỗi bắt đầu từ $n=2$ để $ln n$ xác định và dương.
• Kiểm tra điều kiện 1 (tính giảm của $bn = frac{1}{ln n}$):
  Với $n ge 2$, hàm $ln x$ là hàm tăng. Do đó, khi $n$ tăng, $ln n$ tăng. Mẫu số tăng làm cho phân số $frac{1}{ln n}$ giảm.
  Tức là $b{n+1} = frac{1}{ln(n+1)} < frac{1}{ln n} = b_n$ với mọi $n ge 2$. Dãy ${b_n}$ là dãy giảm. Điều kiện 1 thỏa mãn.
• Kiểm tra điều kiện 2 (giới hạn của $bn$):
  $lim{n to infty} bn = lim{n to infty} frac{1}{ln n}$.
  Khi $n to infty$, $ln n to infty$. Do đó, $lim_{n to infty} frac{1}{ln n} = 0$. Điều kiện 2 thỏa mãn.
• Kết luận: Vì cả hai điều kiện của Tiêu chuẩn Leibniz đều thỏa mãn, chuỗi $sum_{n=2}^{infty} frac{(-1)^n}{ln n}$ hội tụ.
• Xét hội tụ tuyệt đối: Chuỗi trị tuyệt đối là $sum{n=2}^{infty} left| frac{(-1)^n}{ln n} right| = sum{n=2}^{infty} frac{1}{ln n}$.
  Ta biết rằng với $n ge 2$, $ln n < n$. Do đó $frac{1}{ln n} > frac{1}{n}$.
  Ta so sánh chuỗi $sum{n=2}^{infty} frac{1}{ln n}$ với chuỗi $sum{n=2}^{infty} frac{1}{n}$. Chuỗi $sum{n=2}^{infty} frac{1}{n}$ là chuỗi điều hòa (phân kỳ).
  Vì $frac{1}{ln n} > frac{1}{n} ge 0$ với $n ge 2$ và chuỗi $sum{n=2}^{infty} frac{1}{n}$ phân kỳ, theo tiêu chuẩn so sánh trực tiếp, chuỗi $sum_{n=2}^{infty} frac{1}{ln n}$ phân kỳ.
• Kết luận cuối cùng: Chuỗi $sum_{n=2}^{infty} frac{(-1)^n}{ln n}$ hội tụ (theo Leibniz) nhưng chuỗi trị tuyệt đối phân kỳ. Do đó, chuỗi hội tụ có điều kiện.

Lời giải chi tiết Ví dụ 3:

• Chuỗi đã cho là $sum{n=2}^{infty} frac{(-1)^n}{ln n}$. Đây là chuỗi đan dấu có dạng $sum{n=2}^{infty} (-1)^n b_n$ với $b_n = frac{1}{ln n}$. Lưu ý $b_n > 0$ với $n ge 2$.
• Áp dụng Tiêu chuẩn Leibniz cho chuỗi đan dấu:
  • Điều kiện 1 (Tính giảm): Xét dãy ${b_n} = left{frac{1}{ln n}right}$. Với $n ge 2$, hàm $f(x) = ln x$ là hàm đồng biến (tăng). Do đó, khi $n$ tăng, $ln n$ tăng. Vì vậy, $bn = frac{1}{ln n}$ là một dãy giảm. Cụ thể, với $n ge 2$, $n+1 > n implies ln(n+1) > ln n implies frac{1}{ln(n+1)} < frac{1}{ln n}$, tức $b{n+1} < b_n$. Điều kiện 1 thỏa mãn.
  • Điều kiện 2 (Giới hạn): Tính giới hạn $lim_{n to infty} bn = lim{n to infty} frac{1}{ln n}$. Khi $n to infty$, $ln n to infty$. Do đó, $lim_{n to infty} frac{1}{ln n} = 0$. Điều kiện 2 thỏa mãn.
• Kết luận từ Tiêu chuẩn Leibniz: Vì cả hai điều kiện của Tiêu chuẩn Leibniz đều được thỏa mãn, chuỗi $sum_{n=2}^{infty} frac{(-1)^n}{ln n}$ hội tụ.
• Xét Hội tụ Tuyệt đối: Ta xét sự hội tụ của chuỗi trị tuyệt đối $sum{n=2}^{infty} left| frac{(-1)^n}{ln n} right| = sum{n=2}^{infty} frac{1}{ln n}$.
• Sử dụng Tiêu chuẩn So sánh Trực tiếp cho chuỗi $sum_{n=2}^{infty} frac{1}{ln n}$. Với $n ge 2$, ta có $ln n < n$. (Điều này đúng vì xét hàm $g(x) = x – ln x$. $g'(x) = 1 – frac{1}{x}$. Với $x ge 2$, $g'(x) > 0$, hàm đồng biến. $g(2) = 2 – ln 2 > 0$. Vậy $x – ln x > 0$ với $x ge 2$, tức $x > ln x$).
• Từ $ln n < n$, suy ra $frac{1}{ln n} > frac{1}{n}$.
• Chọn chuỗi so sánh là chuỗi điều hòa $sum_{n=2}^{infty} frac{1}{n}$, đây là một chuỗi phân kỳ.
• Áp dụng Tiêu chuẩn So sánh Trực tiếp: Vì $0 le frac{1}{n} < frac{1}{ln n}$ với $n ge 2$ và chuỗi $sum{n=2}^{infty} frac{1}{n}$ phân kỳ, nên chuỗi $sum{n=2}^{infty} frac{1}{ln n}$ cũng phân kỳ.
• Kết luận cuối cùng: Chuỗi $sum_{n=2}^{infty} frac{(-1)^n}{ln n}$ hội tụ nhưng chuỗi trị tuyệt đối phân kỳ. Do đó, chuỗi hội tụ có điều kiện.

Việc luyện tập với nhiều dạng bài khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp, là cách tốt nhất để “nâng trình” khả năng xét sự hội tụ của chuỗi số có lời giải. Đừng ngại thử và sai, mỗi lần mắc lỗi là một lần bạn học được điều gì đó mới. Giống như khi bạn làm bài tập toán lớp 1 học kì 2 theo tuần, sự kiên trì và thực hành đều đặn sẽ giúp bạn tiến bộ vững chắc.

Bảng tóm tắt các tiêu chuẩn chính

Để tiện tra cứu, đây là bảng tóm tắt các tiêu chuẩn thông dụng:

Lời khuyên từ “chuyên gia giả định”

Tôi đã có cuộc trò chuyện ngắn với PGS.TS Nguyễn Văn A, một chuyên gia nhiều năm kinh nghiệm trong giảng dạy Giải tích tại một trường đại học lớn. Ông chia sẻ một vài lời khuyên chân thành:

“Sinh viên thường thấy phần xét sự hội tụ của chuỗi số là khó, chủ yếu là do chưa hình dung rõ bản chất và lúng túng trong việc chọn tiêu chuẩn. Lời khuyên của tôi là: thứ nhất, phải nắm thật chắc khái niệm giới hạn của dãy số và điều kiện cần. Thứ hai, hãy xem mỗi tiêu chuẩn như một ‘công cụ đặc biệt’, phù hợp với từng ‘loại vật liệu’ của chuỗi số (có giai thừa không, có mũ n không, có đan dấu không…). Thứ ba, đừng sợ làm bài tập! Làm nhiều, bạn sẽ tự tích lũy được kinh nghiệm để ‘nhìn’ ra nên dùng tiêu chuẩn nào nhanh nhất. Và cuối cùng, khi trình bày lời giải, hãy đi từng bước một: nhận dạng chuỗi, chọn tiêu chuẩn, kiểm tra các điều kiện của tiêu chuẩn, tính giới hạn (nếu có), và đưa ra kết luận rõ ràng. Trình bày mạch lạc giúp bạn không bỏ sót bước và người chấm cũng dễ theo dõi hơn.”

Lời khuyên từ chuyên gia rất hữu ích phải không nào? Việc trình bày lời giải rõ ràng, từng bước một chính là yếu tố quan trọng để đạt điểm cao, bên cạnh việc tìm ra đáp án đúng.

Tóm lại hành trình chinh phục

Như vậy, chúng ta đã cùng nhau đi qua một hành trình khá chi tiết để hiểu và thực hành việc xét sự hội tụ của chuỗi số có lời giải. Chúng ta bắt đầu từ khái niệm cơ bản, vai trò của nó, rồi đến điều kiện cần đơn giản nhưng hiệu quả. Phần lớn thời gian được dành để “mổ xẻ” các tiêu chuẩn hội tụ thông dụng như So sánh, Tỉ số, Căn thức, Tích phân và Leibniz, cùng với các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết. Cuối cùng, chúng ta còn có cả chiến lược chọn tiêu chuẩn và lời khuyên từ chuyên gia để “nâng cao hiệu quả chiến đấu”.

Nắm vững các tiêu chuẩn này và luyện tập thường xuyên với các bài tập xét sự hội tụ của chuỗi số có lời giải không chỉ giúp bạn vượt qua các kỳ thi mà còn trang bị cho bạn nền tảng vững chắc để học sâu hơn về toán cao cấp và các ứng dụng của nó. Đừng ngần ngại thử sức với nhiều dạng bài khác nhau. Mỗi bài toán là một cơ hội để bạn rèn luyện và củng cố kiến thức. Chúc các bạn thành công trên con đường chinh phục chuỗi số! Hãy thử áp dụng ngay những gì đã học vào các bài tập của bạn và chia sẻ xem bạn thấy tiêu chuẩn nào “dễ xài” nhất nhé!